Die Simsongerade, von Max Himsel, ehemals JBG

Satz

Wählt man einen Punkt auf dem Umkreis eines Dreiecks und fällt von diesem die Lote auf die Dreiecksseiten, so liegen die Lotfußpunkte auf einer Gerade, der Simsongerade.

Beweis

Sei P ein Punkt auf dem Umkreis des Dreiecks ABC. Er befinde sich o.B.d.A. im Winkelfeld von g. Die Lotfußpunkte von P auf AC, AB und BC werden mit Q, R,und S bezeichnet. Um zu zeigen, dass die Punkte Q, R und S auf einer Geraden liegen, genügt es zu beweisen, dass SRB und QRA gleich groß und deshalb Scheitelwinkel einer Geradenkreuzung sind.



Zunächst wird gezeigt, dass die Vierecke APBC, QPSC, RPSB und APRQ Sehnenvierecke sind:
APBC ist Sehnenviereck, da P auf dem Umkreis um ABC liegt.
Bei QPSC und RPSB ergänzen sich jeweils zwei gegenüberliegende rechte Winkel zu 180°. In diesem Fall BSP und PQC bzw. BSP und PRB.
Ebenso ist APRQ ein Sehnenviereck, denn wegen ARP =AQP =90° liegen R und Q auf dem Thaleskreis über [AP].

Aus dem Umfangswinkelsatz folgt:

im APBC: (1) BPA = 180°- g
im QPSC: (2) SPQ = 180°- g
im RPSB: (3) QRA = QPA
im APRQ: (4) SRB = SPB

Aus (1) und (2) folgt:

BPA = SPQ
BPQ + QPA = SPB + BPQ
-> QPA = SPB

Zusammen mit (3) und (4) ergibt das QRA = SRB. Damit folgt die Behauptung. #

Weiterführende Links

Zum Umfeld der Wallace-Geraden
Vortrag von Prof. Dr. O. Giering zur Lehrerfortbildung an der TU-München

De lijn van Simson en een enveloppe
von Dick Klingens